zahlentheoretische Funktion
- zahlentheoretische Funktion
zahlentheoretische Funktion,
eine auf den natürlichen Zahlen definierte komplexwertige
Funktion, die in der
Zahlentheorie von
Interesse ist. In der algebraischen Zahlentheorie werden als zahlentheoretische Funktionen auch Abbildungen bezeichnet, die auf einer kommutativen
Halbgruppe mit
Einselement e und Basis definiert sind, in der jedes von
e verschiedenes
Element eine eindeutige
Darstellung als
Produkt von Basiselementen besitzt und deren
Bildbereich ein kommutativer Ring mit Einselement ist. Eine zahlentheoretische Funktion
α heißt
multiplikativ, wenn
α (
mn) =
α (
m)
α (
n) für alle teilerfremden
m,
n ∈ ℕ gilt. Das Dirichlet-Produkt zweier zahlentheoretische Funktionen
α und
β ist definiert als
wobei über alle die Paare (
x,
y) natürlicher Zahlen summiert wird, deren Produkt
n ergibt. Mit der punktweisen
Addition und dem Dirichlet-Produkt bilden die zahlentheoretischen Funktionen einen
Integritätsbereich. Ein
Beispiel für eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ist die
Möbius-Funktion μ : ℕ → {—1, 0, 1},
μ (1) = 1,
μ (
n) = 0 falls
n durch eine
Quadratzahl b2 teilbar ist,
μ (
n) = (—1)
r falls
n =
p1 ·. .. ·
pr, wobei
pi paarweise verschiedene Primzahlen sind.
Universal-Lexikon.
2012.
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